[latad]

Всё на логике.
Те, которые делятся на 2,4,6,8 - обязаны быть чётными, следовательно, остальные - нечётные. Далее, перед числом, делящимся на 4, стоит нечётное, следовательно, это или 2, или 6, других вариантов нет. с числом, делящимся на 5 и так всё ясно, на конце должно быть 5. С числом, делящимся на 8, та же история, их всего два, опять 2 и 6, а перед этими может стоять тоже всего три, или 72, или 16, или 96. И тд, и тп...
Про признак делимости на 3 не забываем, тогда окажется, что у 2-го и 6-го места тоже всего 2 варианта, 8 и 4, про 9-ку можно не вспоминать, любая комбинация из 9-ти чисел будет делиться на 9 по признаку делимости на 9.
Если на 8-м месте стоит 2, то это однозначно определяет 4-е и 6-е место: ххх654х2, что также однозначно определяет 2-е место: х8х654х2 или х8х254х6. Учитывая, что 1-ка участвует в 1-м или 3-м месте, 16 на 7 и 8 месте быть не может и верная комбинация х8х654х2 (вот здесь я и промахнулся, записав неверный вариант как верный). Итого, на 1-м и третьем месте должны быть 1 и 3, следовательно, на 7-м месте - 7, что сразу упрощает проверку делимости на 7 шестью цифрами и всего двумя вариантами на первых трёх местах: 183 и 381 с последующими 654, пара 381 и 654 даёт признак делимости на 7. Некоторые цепочки пропущены, сами можете их рассмотреть на досуге.
В итоге, ещё до логики очевидно, что 5-е и 10-е места определяются однозначно, а на 9-е место ставится любое оставшееся нечётное, его можно вообще не рассматривать, остаются 7 мест, из которых реальный затык представляет только признак делимости на 7, но и тот сокращается до 6-ти-значного числа, которое при разбивании на две тройки легко считается в уме в один проход.